Umzug Durchschnitt Immer Stationär

4.2 Lineare stationäre Modelle für die Zeitreihe, wo die Zufallsvariable die Innovation heißt, weil sie den Teil der beobachteten Variablen darstellt, der bei den vergangenen Werten unvorhersehbar ist. Das allgemeine Modell (4.4) geht davon aus, dass das Ausgangssignal eines linearen Filters ist, der die bisherigen Innovationen umwandelt, dh ein linearer Prozess ist. Diese Linearitätsannahme beruht auf dem Wolds-Zerlegungssatz (Wold 1938), der besagt, dass jeder diskrete stationäre Kovarianzprozess als die Summe zweier unkorrelierter Prozesse ausgedrückt werden kann, wo rein deterministisch ist und ein rein indeterministischer Prozess ist, der als linear geschrieben werden kann Summe des Innovationsprozesses: Wo ist eine Folge von seriell unkorrelierten Zufallsvariablen mit null mittlerer und gemeinsamer Varianz. Bedingung ist notwendig für die Stationarität. Die Formulierung (4.4) ist eine endliche Reparametrierung der unendlichen Darstellung (4.5) - (4.6) mit Konstante. Es ist in der Regel in Bezug auf die Lag-Operator definiert durch, die einen kürzeren Ausdruck: wo die Lag-Operator-Polynome und werden als das Polynom bzw. das Polynom bezeichnet. Um eine Parameterredundanz zu vermeiden, gehen wir davon aus, dass es keine gemeinsamen Faktoren zwischen den und den Komponenten gibt. Als nächstes werden wir die Handlung von einigen Zeitreihen untersuchen, die durch stationäre Modelle mit dem Ziel der Bestimmung der Hauptmuster ihrer zeitlichen Evolution erzeugt werden. Abbildung 4.2 enthält zwei Serien, die aus den folgenden stationären Prozessen berechnet wurden, die mit Hilfe des Genarma-Quantlets berechnet wurden: Abbildung 4.2: Zeitreihen, die von Modellen erzeugt werden Wie erwartet, bewegen sich beide Zeitreihen um ein konstantes Niveau ohne Änderungen der Varianz aufgrund der stationären Eigenschaft. Darüber hinaus liegt diese Ebene dem theoretischen Mittel des Prozesses nahe, und der Abstand jedes Punktes zu diesem Wert ist sehr selten außerhalb der Grenzen. Darüber hinaus zeigt die Entwicklung der Serie lokale Abweichungen vom Mittel des Prozesses, die als das mittlere Reversionsverhalten bekannt ist, das die stationären Zeitreihen charakterisiert. Lassen Sie uns mit einigen Details die Eigenschaften der verschiedenen Prozesse untersuchen, insbesondere die Autokovarianzfunktion, die die dynamischen Eigenschaften eines stochastischen stationären Prozesses erfasst. Diese Funktion hängt von den Maßeinheiten ab, so dass die übliche Messung des Grades der Linearität zwischen den Variablen der Korrelationskoeffizient ist. Im Falle von stationären Prozessen wird der Autokorrelationskoeffizient bei Verzögerung, bezeichnet mit, als die Korrelation zwischen und definiert: Somit ist die Autokorrelationsfunktion (ACF) die Autokovarianzfunktion, die durch die Varianz standardisiert ist. Die Eigenschaften des ACF sind: Angesichts der Symmetrieeigenschaft (4.10) wird das ACF üblicherweise durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das das einfache Korrelogramm genannt wird. Ein weiteres nützliches Werkzeug zur Beschreibung der Dynamik eines stationären Prozesses ist die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF). Der partielle Autokorrelationskoeffizient bei Verzögerung misst die lineare Assoziation zwischen und wird für die Effekte der Zwischenwerte angepasst. Daher ist es nur der Koeffizient im linearen Regressionsmodell: Die Eigenschaften des PACF entsprechen denen des ACF (4.8) - (4.10) und es ist leicht zu beweisen, dass (Box und Jenkins 1976). Wie die ACF hängt die partielle Autokorrelationsfunktion nicht von den Maßeinheiten ab und wird durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das als partielles Korrelogram bezeichnet wird. Die dynamischen Eigenschaften jedes stationären Modells bestimmen eine bestimmte Form der Korrelogramme. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass für jeden stationären Prozess beide Funktionen, ACF und PACF, sich null annähern, wenn die Verzögerung unendlich ist. Die Modelle sind nicht immer stationäre Prozesse, daher ist es notwendig, zuerst die Bedingungen für die Stationarität zu bestimmen. Es gibt Unterklassen von Modellen, die besondere Eigenschaften haben, so dass wir sie separat studieren werden. Also, wann und, es ist ein weißes Rauschen. Wann ist es ein reiner gleitender durchschnittlicher prozeß der ordnung , Und wenn es ein reiner autoregressiver Prozess der Ordnung ist. . 4.2.1 White Noise Process Das einfachste Modell ist ein White Noise Prozess, wo ist eine Folge von unkorrelierten Null-Mittel-Variablen mit konstanter Varianz. Es wird mit bezeichnet. Dieser Vorgang ist stationär, wenn seine Varianz endlich ist, da da: die Bedingungen (4.1) - (4.3) überprüft wird. Darüber hinaus ist im Laufe der Zeit unkorreliert, so dass seine Autokovarianz-Funktion ist: Abbildung 4.7 zeigt zwei simulierte Zeitreihen, die aus Prozessen mit Null-Mittelwert und Parametern und -0,7 erzeugt werden. Der autoregressive Parameter misst die Beharrlichkeit vergangener Ereignisse in die aktuellen Werte. Zum Beispiel, wenn ein positiver (oder negativer) Schock positiv (oder negativ) für eine Zeitperiode wirkt, die um so größer ist, je größer der Wert von ist. Wann fährt die Serie grob um den Mittelwert aufgrund des Wechseles in Richtung der Wirkung von, das heißt, ein Schock, der sich positiv im Moment beeinflusst, hat negative Auswirkungen auf, positiv in. Der Prozess ist immer invertierbar und er ist stationär, wenn der Parameter des Modells in der Region eingeschränkt ist. Um den stationären Zustand zu beweisen, schreiben wir zuerst die in der gleitenden durchschnittlichen Form durch rekursive Substitution von in (4.14): Abbildung 4.8: Populations-Korrelogramme für Prozesse Das ist eine gewichtete Summe von vergangenen Innovationen. Die Gewichte hängen vom Wert des Parameters ab: Wenn (oder) der Einfluss einer gegebenen Innovation durch die Zeit zunimmt (oder abnimmt). Die Erwartungen an (4.15), um den Mittelwert des Prozesses zu berechnen, erhalten wir: Da ist das Ergebnis eine Summe von unendlichen Begriffen, die für jeden Wert nur dann konvergiert, wenn in welchem ​​Fall. Ein ähnliches Problem erscheint, wenn wir den zweiten Moment berechnen. Der Beweis kann vereinfacht werden, wenn man annimmt. Dann ist die Varianz: Wiederum geht die Varianz in die Unendlichkeit, außer in diesem Fall. Es ist leicht zu verifizieren, dass sowohl der Mittelwert als auch die Varianz explodieren, wenn diese Bedingung nicht gilt. Die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses ist also die Autokorrelationsfunktion für das stationäre Modell: Das heißt, das Korrelogramm zeigt einen exponentiellen Abfall mit positiven Werten immer, wenn positiv und mit negativ-positiven Schwingungen, wenn negativ ist (siehe Bild 4.8). Weiterhin nimmt die Zerfallsrate ab, je größer der Wert der stärkeren die dynamische Korrelation im Prozess ist. Schließlich gibt es einen Cutoff in der partiellen Autokorrelationsfunktion bei der ersten Verzögerung. Abbildung 4.9: Populations-Korrelogramme für Prozesse Es kann gezeigt werden, dass der allgemeine Prozess (Box und Jenkins 1976): Ist nur dann stationär, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Polynoms außerhalb des Einheitskreises liegen. Der Mittelwert eines stationären Modells ist. Ist immer invertierbar für alle Werte der Parameter. Die ACF geht exponentiell auf Null, wenn die Wurzeln echt sind oder bei Sinus-Cosinus-Wellenfluktuationen, wenn sie komplex sind. PACF hat einen Cutoff bei der Verzögerung, das heißt. Einige Beispiele für Korrektramme für komplexere Modelle, wie die, sind in Abbildung 4.9 zu sehen. Sie sind den Mustern sehr ähnlich, wenn die Prozesse echte Wurzeln haben, aber eine ganz andere Form haben, wenn die Wurzeln komplex sind (siehe das erste Grafikpaar von Abbildung 4.9). 4.2.4 Autoregressives Moving Average Model Das generelle (endliche) autoregressive, gleitende, durchschnittliche Modell der Aufträge, ist: Verschieben von durchschnittlichen und exponentiellen Glättungsmodellen Als erster Schritt, um über mittlere Modelle, zufällige Wandermodelle und lineare Trendmodelle, nichtsaisonal zu gehen Muster und Trends können mit einem gleitenden Durchschnitt oder Glättungsmodell extrapoliert werden. Die Grundannahme hinter Mittelwertbildung und Glättung von Modellen ist, dass die Zeitreihe lokal stationär mit einem langsam variierenden Mittel ist. Daher nehmen wir einen bewegten (lokalen) Durchschnitt, um den aktuellen Wert des Mittelwerts abzuschätzen und dann das als die Prognose für die nahe Zukunft zu verwenden. Dies kann als Kompromiss zwischen dem mittleren Modell und dem random-walk-without-drift-Modell betrachtet werden. Die gleiche Strategie kann verwendet werden, um einen lokalen Trend abzuschätzen und zu extrapolieren. Ein gleitender Durchschnitt wird oft als quotsmoothedquot Version der ursprünglichen Serie, weil kurzfristige Mittelung hat die Wirkung der Glättung der Beulen in der ursprünglichen Serie. Durch die Anpassung des Grades der Glättung (die Breite des gleitenden Durchschnitts), können wir hoffen, eine Art von optimalem Gleichgewicht zwischen der Leistung der mittleren und zufälligen Wandermodelle zu schlagen. Die einfachste Art von Mittelungsmodell ist die. Einfache (gleichgewichtete) Moving Average: Die Prognose für den Wert von Y zum Zeitpunkt t1, der zum Zeitpunkt t gemacht wird, entspricht dem einfachen Durchschnitt der letzten m Beobachtungen: (Hier und anderswo verwende ich das Symbol 8220Y-hat8221 zu stehen Für eine Prognose der Zeitreihe Y, die zum frühestmöglichen früheren Datum durch ein gegebenes Modell gemacht wurde.) Dieser Durchschnitt ist in der Periode t (m1) 2 zentriert, was impliziert, dass die Schätzung des lokalen Mittels dazu neigen wird, hinter dem wahren zu liegen Wert des lokalen Mittels um etwa (m1) 2 Perioden. So sagen wir, dass das Durchschnittsalter der Daten im einfachen gleitenden Durchschnitt (m1) 2 relativ zu dem Zeitraum ist, für den die Prognose berechnet wird: Dies ist die Zeitspanne, mit der die Prognosen dazu neigen, hinter den Wendepunkten in den Daten zu liegen . Zum Beispiel, wenn Sie durchschnittlich die letzten 5 Werte sind, werden die Prognosen etwa 3 Perioden spät in Reaktion auf Wendepunkte. Beachten Sie, dass, wenn m1, das einfache gleitende Durchschnitt (SMA) - Modell entspricht dem zufälligen Walk-Modell (ohne Wachstum). Wenn m sehr groß ist (vergleichbar mit der Länge der Schätzperiode), entspricht das SMA-Modell dem mittleren Modell. Wie bei jedem Parameter eines Prognosemodells ist es üblich, den Wert von k anzupassen, um die besten Quoten für die Daten zu erhalten, d. h. die kleinsten Prognosefehler im Durchschnitt. Hier ist ein Beispiel für eine Reihe, die zufällige Schwankungen um ein langsam variierendes Mittel zeigt. Zuerst können wir versuchen, es mit einem zufälligen Spaziergang Modell, das entspricht einem einfachen gleitenden Durchschnitt von 1 Begriff: Das zufällige Spaziergang Modell reagiert sehr schnell auf Änderungen in der Serie, aber in diesem Fall nimmt es viel von der Quotierung in der Daten (die zufälligen Schwankungen) sowie das quotsignalquot (das lokale Mittel). Wenn wir stattdessen einen einfachen gleitenden Durchschnitt von 5 Begriffen ausprobieren, erhalten wir einen glatteren Prognosen: Der 5-fach einfache gleitende Durchschnitt liefert in diesem Fall deutlich kleinere Fehler als das zufällige Spaziergangmodell. Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 3 ((51) 2), so dass es dazu neigt, hinter den Wendepunkten um etwa drei Perioden zurückzukehren. (Zum Beispiel scheint ein Abschwung in der Periode 21 aufgetreten zu sein, aber die Prognosen drehen sich nicht um einige Perioden später.) Beachten Sie, dass die Langzeitprognosen des SMA-Modells eine horizontale Gerade sind, genau wie im zufälligen Spaziergang Modell. So geht das SMA-Modell davon aus, dass es keinen Trend in den Daten gibt. Während die Prognosen aus dem zufälligen Wandermodell einfach dem letzten beobachteten Wert entsprechen, sind die Prognosen des SMA-Modells gleich einem gewichteten Durchschnitt der letzten Werte. Die von Statgraphics für die Langzeitprognosen des einfachen gleitenden Durchschnittes berechneten Vertrauensgrenzen werden nicht weiter erhöht, wenn der Prognosehorizont zunimmt. Das ist offensichtlich nicht richtig Leider gibt es keine zugrundeliegende statistische Theorie, die uns sagt, wie sich die Konfidenzintervalle für dieses Modell erweitern sollten. Allerdings ist es nicht zu schwer, empirische Schätzungen der Vertrauensgrenzen für die längerfristigen Prognosen zu berechnen. Zum Beispiel könnten Sie eine Kalkulationstabelle einrichten, in der das SMA-Modell zur Vorhersage von 2 Schritten voraus, 3 Schritten voraus, etc. im historischen Datenmuster verwendet werden würde. Sie können dann die Stichproben-Standardabweichungen der Fehler bei jedem Prognosehorizont berechnen und dann Konfidenzintervalle für längerfristige Prognosen durch Addition und Subtraktion von Vielfachen der entsprechenden Standardabweichung aufbauen. Wenn wir einen 9-fach einfachen gleitenden Durchschnitt versuchen, bekommen wir noch glattere Prognosen und mehr von einem nacheilenden Effekt: Das Durchschnittsalter beträgt nun 5 Perioden ((91) 2). Wenn wir einen 19-fachen gleitenden Durchschnitt nehmen, steigt das Durchschnittsalter auf 10: Beachten Sie, dass die Prognosen in der Tat hinter den Wendepunkten um etwa 10 Perioden zurückbleiben. Welche Menge an Glättung ist am besten für diese Serie Hier ist eine Tabelle, die ihre Fehlerstatistik vergleicht, auch einen 3-Term-Durchschnitt: Modell C, der 5-fache gleitende Durchschnitt, ergibt den niedrigsten Wert von RMSE um einen kleinen Marge über die 3 - term und 9-term Mittelwerte, und ihre anderen Statistiken sind fast identisch. So können wir bei Modellen mit sehr ähnlichen Fehlerstatistiken wählen, ob wir ein wenig mehr Reaktionsfähigkeit oder ein wenig mehr Glätte in den Prognosen bevorzugen würden. (Zurück zum Anfang der Seite) Browns Einfache Exponential-Glättung (exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt) Das oben beschriebene einfache gleitende Durchschnittsmodell hat die unerwünschte Eigenschaft, dass es die letzten k-Beobachtungen gleichermaßen behandelt und alle vorherigen Beobachtungen völlig ignoriert. Intuitiv sollten vergangene Daten in einer allmählicheren Weise abgezinst werden - zum Beispiel sollte die jüngste Beobachtung ein wenig mehr Gewicht als die 2. jüngste, und die 2. jüngsten sollte ein wenig mehr Gewicht als die 3. jüngsten bekommen, und bald. Das einfache exponentielle Glättungsmodell (SES) erreicht dies. Sei 945 eine quotsmoothing constantquot (eine Zahl zwischen 0 und 1). Eine Möglichkeit, das Modell zu schreiben, besteht darin, eine Reihe L zu definieren, die den gegenwärtigen Pegel (d. h. den lokalen Mittelwert) der Reihe repräsentiert, wie er von den Daten bis zur Gegenwart geschätzt wird. Der Wert von L zum Zeitpunkt t wird rekursiv aus seinem eigenen vorherigen Wert wie folgt berechnet: Somit ist der aktuelle geglättete Wert eine Interpolation zwischen dem vorherigen geglätteten Wert und der aktuellen Beobachtung, wobei 945 die Nähe des interpolierten Wertes auf den letzten Wert steuert Überwachung. Die Prognose für die nächste Periode ist einfach der aktuell geglättete Wert: Gleichermaßen können wir die nächste Prognose direkt in Bezug auf vorherige Prognosen und frühere Beobachtungen in einer der folgenden gleichwertigen Versionen ausdrücken. In der ersten Version ist die Prognose eine Interpolation zwischen vorheriger Prognose und vorheriger Beobachtung: In der zweiten Version wird die nächste Prognose erhalten, indem man die vorherige Prognose in Richtung des vorherigen Fehlers um einen Bruchteil 945 anpasst Zeit t. In der dritten Version ist die Prognose ein exponentiell gewichteter (dh diskontierter) gleitender Durchschnitt mit Rabattfaktor 1-945: Die Interpolationsversion der Prognoseformel ist am einfachsten zu bedienen, wenn man das Modell auf einer Tabellenkalkulation implementiert: Es passt in eine Einzelzelle und enthält Zellreferenzen, die auf die vorherige Prognose, die vorherige Beobachtung und die Zelle hinweisen, in der der Wert von 945 gespeichert ist. Beachten Sie, dass bei 945 1 das SES-Modell einem zufälligen Walk-Modell entspricht (ohne Wachstum). Wenn 945 0 ist, entspricht das SES-Modell dem mittleren Modell, vorausgesetzt, dass der erste geglättete Wert gleich dem Mittelwert ist. (Zurück zum Anfang der Seite) Das Durchschnittsalter der Daten in der einfach-exponentiellen Glättungsprognose beträgt 1 945 gegenüber dem Zeitraum, für den die Prognose berechnet wird. (Das soll nicht offensichtlich sein, aber es kann leicht durch die Auswertung einer unendlichen Reihe gezeigt werden.) Die einfache gleitende Durchschnittsprognose neigt daher dazu, hinter den Wendepunkten um etwa 1 945 Perioden zurückzukehren. Zum Beispiel, wenn 945 0,5 die Verzögerung 2 Perioden beträgt, wenn 945 0,2 die Verzögerung 5 Perioden beträgt, wenn 945 0,1 die Verzögerung 10 Perioden und so weiter ist. Für ein gegebenes Durchschnittsalter (d. H. Verzögerung) ist die Prognose der einfachen exponentiellen Glättung (SES) der einfachen gleitenden Durchschnitts - (SMA) - Prognose etwas überlegen, da sie die jüngste Beobachtung - Es ist etwas mehr auffallend auf Veränderungen, die in der jüngsten Vergangenheit auftreten. Zum Beispiel hat ein SMA-Modell mit 9 Begriffen und einem SES-Modell mit 945 0,2 beide ein Durchschnittsalter von 5 für die Daten in ihren Prognosen, aber das SES-Modell setzt mehr Gewicht auf die letzten 3 Werte als das SMA-Modell und am Gleichzeitig ist es genau 8220forget8221 über Werte mehr als 9 Perioden alt, wie in dieser Tabelle gezeigt: Ein weiterer wichtiger Vorteil des SES-Modells gegenüber dem SMA-Modell ist, dass das SES-Modell einen Glättungsparameter verwendet, der stufenlos variabel ist, so dass er leicht optimiert werden kann Indem ein Quotsolverquot-Algorithmus verwendet wird, um den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren. Der optimale Wert von 945 im SES-Modell für diese Baureihe ergibt sich auf 0,2961, wie hier gezeigt: Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 10.2961 3.4 Perioden, was ähnlich ist wie bei einem 6-fach einfach gleitenden Durchschnitt. Die langfristigen Prognosen des SES-Modells sind eine horizontale Gerade. Wie im SMA-Modell und dem zufälligen Walk-Modell ohne Wachstum. Allerdings ist zu beachten, dass die von Statgraphics berechneten Konfidenzintervalle nun in einer vernünftig aussehenden Weise abweichen und dass sie wesentlich schmaler sind als die Konfidenzintervalle für das zufällige Spaziergangmodell. Das SES-Modell geht davon aus, dass die Serie etwas vorhersehbar ist als das zufällige Spaziergangmodell. Ein SES-Modell ist eigentlich ein Spezialfall eines ARIMA-Modells. So bietet die statistische Theorie der ARIMA-Modelle eine fundierte Grundlage für die Berechnung von Konfidenzintervallen für das SES-Modell. Insbesondere ist ein SES-Modell ein ARIMA-Modell mit einer nicht-seasonalen Differenz, einem MA (1) Term und keinem konstanten Term. Ansonsten bekannt als ein quotARIMA (0,1,1) Modell ohne constantquot. Der MA (1) - Koeffizient im ARIMA-Modell entspricht der Menge 1-945 im SES-Modell. Zum Beispiel, wenn man ein ARIMA (0,1,1) Modell ohne Konstante an die hier analysierte Serie passt, ergibt sich der geschätzte MA (1) Koeffizient 0,7029, was fast genau ein minus 0.2961 ist. Es ist möglich, die Annahme eines nicht-null konstanten linearen Trends zu einem SES-Modell hinzuzufügen. Um dies zu tun, geben Sie einfach ein ARIMA-Modell mit einer nicht-seasonalen Differenz und einem MA (1) Begriff mit einer Konstante, d. h. ein ARIMA (0,1,1) Modell mit konstant. Die langfristigen Prognosen werden dann einen Trend haben, der dem durchschnittlichen Trend entspricht, der über den gesamten Schätzungszeitraum beobachtet wird. Sie können dies nicht in Verbindung mit saisonaler Anpassung tun, da die saisonalen Anpassungsoptionen deaktiviert sind, wenn der Modelltyp auf ARIMA eingestellt ist. Allerdings können Sie einen konstanten langfristigen exponentiellen Trend zu einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell (mit oder ohne saisonale Anpassung) hinzufügen, indem Sie die Inflationsanpassungsoption im Vorhersageverfahren verwenden. Die jeweilige Quotenquote (prozentuale Wachstumsrate) pro Periode kann als Steigungskoeffizient in einem linearen Trendmodell geschätzt werden, das an die Daten in Verbindung mit einer natürlichen Logarithmus-Transformation angepasst ist, oder sie kann auf anderen, unabhängigen Informationen über langfristige Wachstumsaussichten basieren . (Zurück zum Seitenanfang) Browns Linear (dh Double) Exponentielle Glättung Die SMA Modelle und SES Modelle gehen davon aus, dass es in den Daten keinen Trend gibt (was in der Regel ok oder zumindest nicht so schlecht ist für 1- Schritt-voraus Prognosen, wenn die Daten relativ laut sind), und sie können modifiziert werden, um einen konstanten linearen Trend wie oben gezeigt zu integrieren. Was ist mit kurzfristigen Trends Wenn eine Serie eine unterschiedliche Wachstumsrate oder ein zyklisches Muster zeigt, das sich deutlich gegen den Lärm auszeichnet, und wenn es notwendig ist, mehr als einen Zeitraum voraus zu prognostizieren, dann könnte auch eine Einschätzung eines lokalen Trends erfolgen Ein Problem. Das einfache exponentielle Glättungsmodell kann verallgemeinert werden, um ein lineares exponentielles Glättungsmodell (LES) zu erhalten, das lokale Schätzungen sowohl von Ebene als auch von Trend berechnet. Das einfachste zeitveränderliche Trendmodell ist das lineare, exponentielle Glättungsmodell von Browns, das zwei verschiedene geglättete Serien verwendet, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten zentriert sind. Die Prognoseformel basiert auf einer Extrapolation einer Linie durch die beiden Zentren. (Eine ausgefeiltere Version dieses Modells, Holt8217s, wird unten diskutiert.) Die algebraische Form des linearen exponentiellen Glättungsmodells von Brown8217s, wie das des einfachen exponentiellen Glättungsmodells, kann in einer Anzahl von verschiedenen, aber äquivalenten Formen ausgedrückt werden. Die quadratische Form dieses Modells wird gewöhnlich wie folgt ausgedrückt: Sei S die einfach geglättete Reihe, die durch Anwendung einer einfachen exponentiellen Glättung auf die Reihe Y erhalten wird. Das heißt, der Wert von S in der Periode t ist gegeben durch: (Erinnern Sie sich, dass unter einfachem Exponentielle Glättung, das wäre die Prognose für Y in der Periode t1.) Dann sei Squot die doppelt geglättete Reihe, die durch Anwendung einer einfachen exponentiellen Glättung (mit demselben 945) auf die Reihe S erhalten wird: Schließlich ist die Prognose für Y tk. Für irgendwelche kgt1 ist gegeben durch: Dies ergibt e 1 0 (d. h. Cheat ein Bit, und lassen Sie die erste Prognose gleich der tatsächlichen ersten Beobachtung) und e 2 Y 2 8211 Y 1. Nach denen Prognosen mit der obigen Gleichung erzeugt werden. Dies ergibt die gleichen angepassten Werte wie die Formel auf Basis von S und S, wenn diese mit S 1 S 1 Y 1 gestartet wurden. Diese Version des Modells wird auf der nächsten Seite verwendet, die eine Kombination aus exponentieller Glättung mit saisonaler Anpassung darstellt. Holt8217s Lineare Exponential-Glättung Brown8217s LES-Modell berechnet lokale Schätzungen von Level und Trend durch Glättung der aktuellen Daten, aber die Tatsache, dass es dies mit einem einzigen Glättungsparameter macht, legt eine Einschränkung auf die Datenmuster, die es passen kann: das Niveau und den Trend Dürfen nicht zu unabhängigen Preisen variieren. Holt8217s LES-Modell adressiert dieses Problem, indem es zwei Glättungskonstanten einschließt, eine für die Ebene und eine für den Trend. Zu jeder Zeit t, wie in Brown8217s Modell, gibt es eine Schätzung L t der lokalen Ebene und eine Schätzung T t der lokalen Trend. Hier werden sie rekursiv aus dem Wert von Y, der zum Zeitpunkt t beobachtet wurde, und den vorherigen Schätzungen des Niveaus und des Tendenzes durch zwei Gleichungen berechnet, die eine exponentielle Glättung für sie separat anwenden. Wenn der geschätzte Pegel und der Trend zum Zeitpunkt t-1 L t82091 und T t-1 sind. Dann ist die Prognose für Y tshy, die zum Zeitpunkt t-1 gemacht worden wäre, gleich L t-1 T t-1. Wenn der Istwert beobachtet wird, wird die aktualisierte Schätzung des Pegels rekursiv durch Interpolation zwischen Y tshy und dessen Prognose L t-1 T t-1 unter Verwendung von Gewichten von 945 und 1 945 berechnet. Die Änderung des geschätzten Pegels, Nämlich L t 8209 L t82091. Kann als eine laute Messung des Trends zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die aktualisierte Schätzung des Trends wird dann rekursiv durch Interpolation zwischen L t 8209 L t82091 und der vorherigen Schätzung des Trends T t-1 berechnet. Mit Gewichten von 946 und 1-946: Die Interpretation der Trend-Glättungs-Konstante 946 ist analog zu der Niveau-Glättungs-Konstante 945. Modelle mit kleinen Werten von 946 gehen davon aus, dass sich der Trend nur sehr langsam über die Zeit ändert, während Modelle mit Größer 946 nehmen an, dass es sich schneller ändert. Ein Modell mit einer großen 946 glaubt, dass die ferne Zukunft sehr unsicher ist, denn Fehler in der Trendschätzung werden bei der Prognose von mehr als einer Periode sehr wichtig. (Zurück zum Seitenanfang) Die Glättungskonstanten 945 und 946 können in der üblichen Weise durch Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers der 1-Schritt-voraus-Prognosen geschätzt werden. Wenn dies in Statgraphics geschieht, ergeben sich die Schätzungen auf 945 0.3048 und 946 0,008. Der sehr kleine Wert von 946 bedeutet, dass das Modell eine sehr geringe Veränderung des Trends von einer Periode zur nächsten einnimmt, so dass dieses Modell grundsätzlich versucht, einen langfristigen Trend abzuschätzen. In Analogie zum Begriff des Durchschnittsalters der Daten, die bei der Schätzung der lokalen Ebene der Serie verwendet wird, ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet wird, proportional zu 1 946, wenn auch nicht genau gleich . In diesem Fall stellt sich heraus, dass es sich um 10.006 125 handelt. Dies ist eine sehr genaue Zahl, da die Genauigkeit der Schätzung von 946 wirklich 3 Dezimalstellen ist, aber sie ist von der gleichen allgemeinen Größenordnung wie die Stichprobengröße von 100 Dieses Modell ist durchschnittlich über eine ganze Menge Geschichte bei der Schätzung der Trend. Die prognostizierte Handlung unten zeigt, dass das LES-Modell einen geringfügig größeren lokalen Trend am Ende der Serie schätzt als der im SEStrend-Modell geschätzte konstante Trend. Auch der Schätzwert von 945 ist fast identisch mit dem, der durch die Anpassung des SES-Modells mit oder ohne Trend erhalten wird. Das ist also fast das gleiche Modell. Nun, sehen diese aus wie vernünftige Prognosen für ein Modell, das soll ein lokaler Trend schätzen Wenn Sie diese Handlung, es sieht so aus, als ob der lokale Trend hat sich nach unten am Ende der Serie Was ist passiert Die Parameter dieses Modells Wurden durch die Minimierung der quadratischen Fehler von 1-Schritt-voraus Prognosen, nicht längerfristige Prognosen geschätzt, in welchem ​​Fall der Trend doesn8217t machen einen großen Unterschied. Wenn alles, was Sie suchen, sind 1-Schritt-vor-Fehler, sehen Sie nicht das größere Bild der Trends über (sagen) 10 oder 20 Perioden. Um dieses Modell mehr im Einklang mit unserer Augapfel-Extrapolation der Daten zu erhalten, können wir die Trend-Glättung konstant manuell anpassen, so dass es eine kürzere Grundlinie für Trendschätzung verwendet. Zum Beispiel, wenn wir uns dafür entscheiden, 946 0,1 zu setzen, dann ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, 10 Perioden, was bedeutet, dass wir den Trend über die letzten 20 Perioden oder so vermitteln. Hier8217s, was die Prognose Handlung aussieht, wenn wir 946 0,1 gesetzt, während halten 945 0,3. Das sieht für diese Serie intuitiv vernünftig aus, obwohl es wahrscheinlich gefährlich ist, diesen Trend in Zukunft mehr als 10 Perioden zu extrapolieren. Was ist mit den Fehlerstatistiken Hier ist ein Modellvergleich für die beiden oben gezeigten Modelle sowie drei SES-Modelle. Der optimale Wert von 945 für das SES-Modell beträgt etwa 0,3, aber es werden ähnliche Ergebnisse (mit etwas mehr oder weniger Ansprechverhalten) mit 0,5 und 0,2 erhalten. (A) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0.3048 und beta 0.008 (B) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0,3 und beta 0,1 (C) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,5 (D) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0.2 Ihre Stats sind nahezu identisch, so dass wir wirklich die Wahl treffen können Von 1-Schritt-voraus Prognosefehler innerhalb der Datenprobe Wir müssen auf andere Überlegungen zurückgreifen. Wenn wir stark davon überzeugt sind, dass es sinnvoll ist, die aktuelle Trendschätzung auf das, was in den letzten 20 Perioden passiert ist, zu stützen, so können wir einen Fall für das LES-Modell mit 945 0,3 und 946 0,1 machen. Wenn wir agnostisch darüber sein wollen, ob es einen lokalen Trend gibt, dann könnte eines der SES-Modelle leichter zu erklären sein und würde auch mehr Mittelwert der Prognosen für die nächsten 5 oder 10 Perioden geben. (Rückkehr nach oben) Welche Art von Trend-Extrapolation ist am besten: horizontal oder linear Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass, wenn die Daten bereits für die Inflation angepasst wurden (falls erforderlich), dann kann es unklug sein, kurzfristig linear zu extrapolieren Trends sehr weit in die Zukunft. Trends, die heute deutlich werden, können in Zukunft aufgrund unterschiedlicher Ursachen wie Produktveralterung, erhöhter Konkurrenz und zyklischer Abschwünge oder Aufschwünge in einer Branche nachlassen. Aus diesem Grund führt eine einfache, exponentielle Glättung oftmals zu einem besseren Out-of-Sample, als es sonst zu erwarten wäre, trotz der quadratischen horizontalen Trend-Extrapolation. Gedämpfte Trendmodifikationen des linearen exponentiellen Glättungsmodells werden auch in der Praxis häufig verwendet, um eine Note des Konservatismus in seine Trendprojektionen einzuführen. Das LES-Modell mit gedämpftem Trend kann als Spezialfall eines ARIMA-Modells, insbesondere eines ARIMA (1,1,2) - Modells, implementiert werden. Es ist möglich, Konfidenzintervalle um Langzeitprognosen zu berechnen, die durch exponentielle Glättungsmodelle erzeugt werden, indem sie sie als Sonderfälle von ARIMA-Modellen betrachten. (Vorsicht: Nicht alle Software berechnet die Konfidenzintervalle für diese Modelle korrekt.) Die Breite der Konfidenzintervalle hängt von (i) dem RMS-Fehler des Modells ab, (ii) der Art der Glättung (einfach oder linear) (iii) der Wert (S) der Glättungskonstante (n) und (iv) die Anzahl der voraussichtlichen Perioden, die Sie prognostizieren. Im Allgemeinen werden die Intervalle schneller ausgebreitet als 945 im SES-Modell größer und sie breiten sich viel schneller aus, wenn lineare statt einfache Glättung verwendet wird. Dieses Thema wird im ARIMA-Modellteil der Notizen weiter erörtert. (Zurück zum Anfang der Seite) Eine kurze Einführung in die moderne Zeitreihendefinition Eine Zeitreihe ist eine zufällige Funktion x t eines Arguments t in einem Satz T. Mit anderen Worten, eine Zeitreihe ist eine Familie von zufälligen Variablen. X t-1 X t. X t1 Entsprechend allen Elementen in der Menge T, wobei T eine abzählbare, unendliche Menge sein soll. Definition Eine beobachtete Zeitreihe t t e T o T wird als Teil einer Realisierung einer Zufallsfunktion x t betrachtet. Eine unendliche Menge möglicher Erkenntnisse, die man beobachten könnte, heißt Ensemble. Um die Dinge rigoroser zu setzen, ist die Zeitreihe (oder zufällige Funktion) eine reelle Funktion x (w, t) der beiden Variablen w und t, wobei wW und t T. Wenn wir den Wert von w festlegen. Wir haben eine reelle Funktion x (t w) der Zeit t, die eine Realisierung der Zeitreihe ist. Wenn wir den Wert von t festlegen, dann haben wir eine zufällige Variable x (wt). Für einen gegebenen Zeitpunkt gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über x. Somit kann eine zufällige Funktion x (w, t) entweder als eine Familie von zufälligen Variablen oder als eine Familie von Realisierungen betrachtet werden. Definition Wir definieren die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen w mit t 0 als P o) x (x). Ebenso können wir die gemeinsame Verteilung für n zufällige Variablen definieren. Die Punkte, die die Zeitreihenanalyse von gewöhnlichen statistischen Analysen unterscheiden, sind folgende (1) Die Abhängigkeit von Beobachtungen zu verschiedenen zeitlichen Zeitpunkten spielt eine wesentliche Rolle. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Beobachtungen ist wichtig. In der gewöhnlichen statistischen Analyse wird davon ausgegangen, dass die Beobachtungen voneinander unabhängig sind. (2) Die Domäne von t ist unendlich. (3) Wir müssen aus einer Realisierung eine Schlussfolgerung ziehen. Die Realisierung der Zufallsvariablen kann nur einmal zu jedem Zeitpunkt beobachtet werden. In der multivariaten Analyse haben wir viele Beobachtungen über eine endliche Anzahl von Variablen. Dieser kritische Unterschied erfordert die Annahme der Stationarität. Definition Die zufällige Funktion x t gilt als streng stationär, wenn alle endlichen dimensionalen Verteilungsfunktionen, die x t definieren, gleich bleiben, auch wenn die ganze Gruppe von Punkten t 1 ist. T 2 T n wird entlang der Zeitachse verschoben. Das heißt, wenn für irgendwelche ganze Zahlen t 1. T 2 T n und k. Grafisch könnte man die Realisierung einer streng stationären Serie als nicht nur die gleiche Ebene in zwei verschiedenen Intervallen, sondern auch die gleiche Verteilungsfunktion, bis hin zu den Parametern, die es definieren, darstellen. Die Annahme der Stationarität macht unser Leben einfacher und weniger kostspielig. Ohne Stationarität müssten wir den Prozeß zu jedem Zeitpunkt häufig abtasten, um eine Charakterisierung der Verteilungsfunktionen in der früheren Definition aufzubauen. Stationarität bedeutet, dass wir unsere Aufmerksamkeit auf einige der einfachsten numerischen Funktionen beschränken können, d. h. die Momente der Verteilungen. Die zentralen Momente sind gegeben durch Definition (i) Der Mittelwert der Zeitreihe t ist d. h. das Moment der ersten Ordnung. (Ii) Die Autokovarianzfunktion von t ist d. h. das zweite Moment um den Mittelwert. Wenn ts dann hast du die Varianz von x t. Wir werden die Autokovarianz einer stationären Reihe bezeichnen, wobei k die Differenz zwischen t und s bezeichnet. (Iii) Die Autokorrelationsfunktion (ACF) von t wird verwendet, um die Autokorrelation einer stationären Reihe zu bezeichnen, wobei k die Differenz zwischen t und s bezeichnet. (Iv) Die partielle Autokorrelation (PACF). Fkk Ist die Korrelation zwischen z t und z tk nach dem Entfernen ihrer gegenseitigen linearen Abhängigkeit von den dazwischenliegenden Variablen z t1. Z t2 Z tk-1 Eine einfache Möglichkeit, die partielle Autokorrelation zwischen z t und z tk zu berechnen, besteht darin, die beiden Regressionen auszuführen und dann die Korrelation zwischen den beiden Restvektoren zu berechnen. Oder nach dem Messen der Variablen als Abweichungen von ihren Mitteln kann die partielle Autokorrelation als der LS-Regressionskoeffizient auf z t in dem Modell gefunden werden, bei dem der Punkt über der Variablen anzeigt, dass er als Abweichung von seinem Mittelwert gemessen wird. (V) Die Yule-Walker-Gleichungen stellen eine wichtige Beziehung zwischen den partiellen Autokorrelationen und den Autokorrelationen dar. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung 10 mit z tk-j und nehmen Sie Erwartungen. Diese Operation gibt uns die folgende Differenzgleichung in den Autokovarianzen oder in Bezug auf die Autokorrelationen Diese scheinbar einfache Darstellung ist wirklich ein mächtiges Ergebnis. Nämlich für j1,2. K können wir das ganze Gleichungssystem schreiben, das als die Yule-Walker-Gleichungen bekannt ist. Aus der linearen Algebra wissen Sie, dass die Matrix von rs vollrangig ist. Daher ist es möglich, die Cramers-Regel sukzessive für k1,2 anzuwenden. Um das System für die partiellen Autokorrelationen zu lösen. Die ersten drei sind Wir haben drei wichtige Ergebnisse auf streng stationäre Serie. Die Implikation ist, dass wir jede endliche Realisierung der Sequenz verwenden können, um den Mittelwert zu schätzen. Zweite . Wenn t streng stationär ist und e t 2 lt dann die Implikation ist, dass die Autokovarianz nur von der Differenz zwischen t und s abhängt, nicht von ihrem chronologischen Zeitpunkt in der Zeit. Wir könnten jedes Paar von Intervallen bei der Berechnung der Autokovarianz verwenden, solange die Zeit zwischen ihnen konstant war. Und wir können jede endliche Verwirklichung der Daten verwenden, um die Autokovarianzen zu schätzen. Drittens ist die Autokorrelationsfunktion im Falle einer strengen Stationarität gegeben durch Die Implikation ist, dass die Autokorrelation nur von der Differenz zwischen t und s abhängt, und wieder können sie durch eine endliche Realisierung der Daten geschätzt werden. Wenn es unser Ziel ist, Parameter zu schätzen, die die möglichen Realisierungen der Zeitreihen beschreiben, dann ist vielleicht eine strenge Stationarität zu restriktiv. Zum Beispiel, wenn die Mittelwerte und Kovarianzen von x t konstant und unabhängig vom chronologischen Zeitpunkt sind, dann ist es uns vielleicht nicht wichtig, dass die Verteilungsfunktion für verschiedene Zeitintervalle gleich ist. Definition Eine zufällige Funktion steht im weiten Sinne (oder schwach stationär oder stationär im Khinchins-Sinne oder Kovarianz stationär) bei m 1 (t) m und m 11 (t, s). Strenge Stationarität bedeutet an sich keine schwache Stationarität. Schwache Stationarität bedeutet keine strenge Stationarität. Strenge Stationarität mit E t 2 lt impliziert schwache Stationarität. Ergodische Theoreme beschäftigen sich mit der Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen, um aus einer einzigen Realisierung einer Zeitreihe zu kommen. Grundsätzlich geht es auf eine schwache Stationarität. Theorem Ist t schwach stationär mit mittlerer und kovarianzfunktion, so ist für jeden gegebenen e gt 0 und h gt 0 eine gewisse Anzahl T o vorhanden, so daß für alle T gt T o Wenn und nur wenn diese notwendige und hinreichende Bedingung ist, dass die Autokovarianzen aussterben, in welchem ​​Fall die Stichprobe bedeutet eine konsistente Schätzung für die Bevölkerung bedeuten. Korollar Ist t schwach stationär mit E tk xt 2 lt für jedes t und e tk xtx tsk x ts ist unabhängig von t für irgendeine ganze Zahl s, dann wenn und nur wenn wo eine Folge der Korollar die Annahme ist, dass xtx tk ist Schwach stationär Der Ergodische Satz ist nicht mehr als ein Gesetz von großer Zahl, wenn die Beobachtungen korreliert sind. Man könnte an dieser Stelle über die praktischen Implikationen der Stationarität fragen. Die häufigste Anwendung der Verwendung von Zeitreihentechniken ist die Modellierung makroökonomischer Daten, sowohl theoretisch als auch atheoretisch. Als Beispiel für das erstere könnte man ein Multiplikator-Beschleuniger-Modell haben. Damit das Modell stationär ist, müssen die Parameter bestimmte Werte haben. Ein Test des Modells ist dann, die relevanten Daten zu sammeln und die Parameter zu schätzen. Wenn die Schätzungen nicht mit der Stationarität übereinstimmen, dann muss man entweder das theoretische Modell oder das statisticla-Modell oder beide überdenken. Wir haben jetzt genug Maschinen, um über die Modellierung von univariaten Zeitreihen zu sprechen. Es gibt vier Schritte in den Prozess. 1. Modellierung von theoretischen und experimentellen Erkenntnissen 2. Identifizierung von Modellen basierend auf den Daten (beobachtete Serie) 3. Anpassung der Modelle (Schätzung der Parameter des Modells) 4. Überprüfung des Modells Wenn im vierten Schritt sind wir nicht Zufrieden sind wir zurück zu Schritt eins. Der Prozess ist iterativ, bis eine weitere Überprüfung und Respecifikation keine weitere Ergebnisverbesserung ergibt. Schematisch Definition Einige einfache Operationen beinhalten folgendes: Der Backshift-Operator Bx tx t-1 Der Vorwärtsoperator Fx tx t1 Der Differenzoperator 1 - B xtxt - x t-1 Der Differenzoperator verhält sich in einer Weise, die mit der Konstanten in einer unendlichen Reihe übereinstimmt . Das heißt, seine Umkehrung ist die Grenze einer unendlichen Summe. Das heißt, -1 (1-B) -1 1 (1-B) 1BB 2. Der Integrationsoperator S -1 Da es sich um die Umkehrung des Differenzoperators handelt, dient der Integrationsoperator dazu, die Summe zu konstruieren. MODELLGEBÄUDE In diesem Abschnitt bieten wir Ihnen einen kurzen Überblick über die gängigsten Zeitreihenmodelle. Auf der Grundlage der Kenntnisse des Datenerzeugungsprozesses wählt man eine Klasse von Modellen zur Identifikation und Schätzung aus den folgenden Möglichkeiten. Definition Angenommen, Ex t m ist unabhängig von t. Ein Modell wie mit den Merkmalen heißt das autoregressive Modell der Ordnung p, AR (p). Definition Wenn eine zeitabhängige Variable (stochastischer Prozess) t erfüllt, dann gilt t die Markov-Eigenschaft. Auf der LHS ist die Erwartung auf die unendliche Geschichte von x t. Auf der RHS ist es nur ein Teil der Geschichte bedingt. Aus den Definitionen wird ein AR (p) - Modell gesehen, um die Markov-Eigenschaft zu befriedigen. Mit dem Backshift-Operator können wir unser AR-Modell als Theorem schreiben. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das stationäre AR (p) - Modell ist, dass alle Wurzeln des Polynoms außerhalb des Einheitskreises liegen. Beispiel 1 Betrachten Sie die AR (1) Die einzige Wurzel von 1 - f 1 B 0 ist B 1 f 1. Die Bedingung für die Stationarität erfordert das. Wenn dann die beobachtete Reihe sehr frenetisch erscheinen wird. Z. B. Betrachten, in welchen der weiße Rauschbegriff eine Normalverteilung mit einem Null-Mittelwert und einer Varianz von Eins hat. Die Beobachtungen wechseln mit fast jeder Beobachtung. Wenn auf der anderen Seite dann die beobachtete Serie viel glatter wird. In dieser Reihe neigt eine Beobachtung dazu, über 0 zu liegen, wenn ihr Vorgänger über Null war. Die Varianz von e t ist s e 2 für alle t. Die Varianz von x t. Wenn es null hat, ist gegeben von Da die Serie stationär ist, können wir schreiben. Die Autokovarianzfunktion einer AR (1) - Serie ist also ohne Verlust der Allgemeinheit m 0 zu sehen, wie das in den AR-Parametern aussieht, so werden wir von der Tatsache Gebrauch machen, dass wir xt wie folgt schreiben können. Multiplizieren mit x Tk und nehmen Erwartungen Beachten Sie, dass die Autokovarianzen sterben, wie k wächst. Die Autokorrelationsfunktion ist die Autokovarianz, dividiert durch die Varianz des weißen Rauschterms. Oder, . Mit den früheren Yule-Walker-Formeln für die partiellen Autokorrelationen haben wir für einen AR (1) die Autokorrelationen exponentiell aus und die partiellen Autokorrelationen zeigen eine Spike bei einer Verzögerung und sind danach Null. Beispiel 2 Betrachten Sie das AR (2) Das zugehörige Polynom im Lag-Operator ist die Wurzeln mit der quadratischen Formel gefunden werden. Die Wurzeln sind, wenn die Wurzeln real sind und als Folge wird die Reihe exponentiell in Reaktion auf einen Schock abnehmen. Wenn die Wurzeln komplex sind und die Serie als gedämpfte Zeichenwelle erscheinen wird. Der Satzungstheorem setzt die folgenden Bedingungen auf die AR-Koeffizienten Die Autokovarianz für einen AR (2) - Verfahren mit nullem Mittelwert ist durch die Varianz von xt durchdringt die Autokorrelationsfunktion Da können wir schreiben Ähnlich für die zweite und dritte Autokorrelationen Die andere Autokorrelationen werden rekursiv behoben. Ihr Muster wird durch die Wurzeln der linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung bestimmt Wenn die Wurzeln real sind, werden die Autokorrelationen exponentiell abnehmen. Wenn die Wurzeln komplex sind, erscheinen die Autokorrelationen als gedämpfte Sinuswelle. Mit den Yule-Walker-Gleichungen, die Teilautokorrelationen sind wieder, die Autokorrelationen sterben langsam aus. Die partielle Autokorrelation auf der anderen Seite ist ganz unverwechselbar. Es hat Spikes an ein und zwei Lags und ist danach null. Theorem Ist x t ein stationärer AR (p) Prozess, so kann er äquivalent als lineares Filtermodell geschrieben werden. Das heißt, das Polynom im Backshift-Operator kann invertiert werden und das AR (p) als gleitender Durchschnitt der unendlichen Ordnung geschrieben werden. Beispiel Angenommen, z t ist ein AR (1) Prozess mit Null Mittelwert. Was für die aktuelle Periode gilt, muss auch für Vorperioden gelten. So können wir durch rekursive Substitution quadratisch beide Seiten schreiben und Erwartungen nehmen, die rechte Seite verschwindet als k seit f lt 1. Daher konvergiert die Summe in zt im quadratischen Mittel. Wir können das AR (p) Modell als linearen Filter umschreiben, das wir als stationär kennen. Die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelation nehmen im Allgemeinen an, dass eine stationäre Serie z t mit mittlerem Null autoristisch ist. Die Autokorrelationsfunktion eines AR (p) wird gefunden, indem man Erwartungen an und durchdringt durch die Varianz von z t. Dies sagt uns, daß r k eine lineare Kombination der vorherigen Autokorrelationen ist. Wir können dies bei der Anwendung von Cramers-Regel verwenden, um (i) bei der Lösung für f kk. Insbesondere können wir sehen, dass diese lineare Abhängigkeit f kk 0 für k gt p verursacht. Diese Besonderheit der autoregressiven Serien wird sehr nützlich sein, wenn es um die Identifizierung einer unbekannten Serie geht. Wenn du entweder MathCAD oder MathCAD Explorer hast, kannst du mit den hier vorgestellten AR (p) Ideen interaktivieren. Moving Average Models Betrachten wir ein dynamisches Modell, bei dem die Interessensreihe nur von einem Teil der Geschichte des White Noise Term abhängt. Schematisch könnte dies als Definition dargestellt werden. Angenommen, a t ist eine unkorrelierte Folge von i. i.d. Zufällige Variablen mit null mittlerer und endlicher Varianz. Dann ist ein gleitender Mittelwert der Ordnung q, MA (q), durch Theorem gegeben: Ein gleitender Durchschnittsprozess ist immer stationär. Beweis: Anstatt mit einem allgemeinen Beweis zu beginnen, werden wir es für einen bestimmten Fall tun. Angenommen, z t ist MA (1). Dann . Natürlich hat a t eine mittlere und endliche Varianz. Der Mittelwert von z t ist immer Null. Die Autokovarianzen werden gegeben von Sie können sehen, dass der Mittelwert der zufälligen Variablen nicht von der Zeit in irgendeiner Weise abhängt. Sie können auch sehen, dass die Autokovarianz nur vom Offset abhängt, nicht auf wo in der Serie wir starten. Wir können das gleiche Ergebnis allgemeiner durchführen, indem wir mit dem beginnen, das die wechselnde gleitende durchschnittliche Darstellung hat. Betrachten wir zuerst die Varianz von z t. Durch rekursive Substitution können Sie zeigen, dass dies gleich ist Die Summe, die wir kennen, um eine konvergente Serie zu sein, so dass die Varianz endlich ist und unabhängig von der Zeit ist. Die Kovarianzen sind zum Beispiel Sie können auch sehen, dass die Auto-Kovarianzen nur von den relativen Zeitpunkten abhängen, nicht von dem chronologischen Zeitpunkt der Zeit. Unsere Schlussfolgerung aus all dem ist, dass ein MA () - Prozess stationär ist. Für den allgemeinen MA (q) - Verfahren ist die Autokorrelationsfunktion gegeben durch Die partielle Autokorrelationsfunktion wird gleichmäßig auslaufen. Sie können dies sehen, indem Sie den Prozess invertieren, um einen AR () Prozess zu erhalten. Wenn du entweder MathCAD oder MathCAD Explorer hast, kannst du interaktiv mit einigen der hier vorgestellten MA (q) Ideen experimentieren. Mixed Autoregressive - Moving Average Models Definition Angenommen, ein t ist eine unkorrelierte Sequenz von i. i.d. Zufällige Variablen mit null mittlerer und endlicher Varianz. Dann wird ein autoregressiver, gleitender Mittelprozess der Ordnung (p, q), ARMA (p, q) gegeben. Die Wurzeln des autoregressiven Operators müssen alle außerhalb des Einheitskreises liegen. Die Anzahl der Unbekannten ist pq2. Die p und q sind offensichtlich. Die 2 enthält die Stufe des Prozesses, m. Und die Varianz des weißen Rauschbegriffs, sa 2. Angenommen, wir kombinieren unsere AR - und MA-Darstellungen, so dass das Modell ist und die Koeffizienten normalisiert werden, so dass bo 1. Dann wird diese Darstellung als ARMA (p, q) bezeichnet, wenn die Wurzeln von (1) liegen alle außerhalb des Einheitskreises. Angenommen, die y t werden als Abweichungen vom Mittelwert gemessen, so dass wir a fallen können. Dann wird die Autokovarianz-Funktion abgeleitet, wenn jgtq dann die MA-Begriffe fallen in Erwartung zu geben Das heißt, die Autokovarianz-Funktion sieht aus wie eine typische AR für Lags nach q sie sterben glatt nach q, aber wir können nicht sagen, wie 1,2 133, Q wird aussehen Wir können auch die PACF für diese Klasse von Modell untersuchen. Das Modell kann geschrieben werden, da wir dies als MA (inf) - Prozess schreiben können, was darauf hindeutet, dass die PACFs langsam aussterben. Mit einer Arithmetik konnten wir zeigen, dass dies erst nach den ersten P-Spikes des AR-Teils geschieht. Empirisches Gesetz In Wirklichkeit kann eine stationäre Zeitreihe gut durch p 2 und q 2 dargestellt werden. Wenn Ihr Unternehmen eine gute Annäherung an die Realität und die Güte der Passform bietet, ist Ihr Kriterium dann ein verschwenderisches Modell bevorzugt. Wenn Ihr Interesse prädiktive Effizienz ist, dann ist das sparsame Modell bevorzugt. Experimentiere mit den ARMA-Ideen, die oben mit einem MathCAD-Arbeitsblatt vorgestellt wurden. Autoregressive Integrate Moving Average Modelle MA Filter AR Filter Filter integrieren Manchmal ist der Prozess oder die Serie, die wir versuchen zu modellieren, nicht stationär in Levels. Aber es könnte sein, stationäre in, sagen, erste Unterschiede. Das heißt, in ihrer ursprünglichen Form können die Autokovarianzen für die Serie nicht unabhängig vom chronologischen Zeitpunkt sein. Wenn wir aber eine neue Serie konstruieren, die die ersten Unterschiede der Originalreihe ist, so erfüllt diese neue Serie die Definition der Stationarität. Dies ist oft der Fall bei ökonomischen Daten, die stark trendig sind. Definition Angenommen, dass z t nicht stationär ist, aber z t - z t - 1 erfüllt die Definition der Stationarität. Auch bei dem weißen Rauschbegriff hat endliche Mittel und Varianz. Wir können das Modell schreiben, da dies ein ARIMA (p, d, q) Modell genannt wird. P identifiziert die Reihenfolge des AR-Operators, d identifiziert das Einschalten. Q identifiziert die Reihenfolge des MA-Operators. Wenn die Wurzeln von f (B) außerhalb des Einheitskreises liegen, können wir die ARIMA (p, d, q) als linearen Filter umschreiben. I. e. Es kann als MA () geschrieben werden. Wir behalten uns die Diskussion über die Erkennung von Einheitswurzeln für einen anderen Teil der Vorlesungsunterlagen vor. Betrachten wir ein dynamisches System mit x t als Eingangsreihe und y t als Ausgabeserie. Schematisch haben wir diese Modelle sind eine diskrete Analogie von linearen Differentialgleichungen. Wir nehmen die folgende Beziehung an, wo b eine reine Verzögerung anzeigt. Erinnere dich daran, dass (1-B). Durch diese Substitution kann das Modell geschrieben werden. Wenn das Koeffizientenpolynom auf y t invertiert werden kann, kann das Modell geschrieben werden, da V (B) als Impulsantwortfunktion bekannt ist. Wir werden diese Terminologie wieder in unserer späteren Diskussion über Vektor autoregressive kommen. Kointegrations - und Fehlerkorrekturmodelle. MODELL-IDENTIFIKATION Nachdem Sie sich für eine Klasse von Modellen entschieden haben, muss man nun die Reihenfolge der Prozesse identifizieren, die die Daten erzeugen. Das heißt, man muss sich am besten über die Reihenfolge der AR - und MA-Prozesse entscheiden, die die stationären Serien antreiben. Eine stationäre Serie zeichnet sich durch ihre Mittel - und Autokovarianzen aus. Aus analytischen Gründen arbeiten wir meist mit den Autokorrelationen und Teilautokorrelationen. Diese beiden grundlegenden Werkzeuge haben einzigartige Muster für stationäre AR - und MA-Prozesse. Man könnte Stichprobenschätzungen der Autokorrelations - und Teilautokorrelationsfunktionen berechnen und sie mit tabellierten Ergebnissen für Standardmodelle vergleichen. Beispiel Autokovarianz Funktion Beispiel Autokorrelation Funktion Die Probe Teilautokorrelationen werden die Autokorrelationen verwenden und Teilautokorrelationen ist im Prinzip ganz einfach. Angenommen, wir haben eine Serie z t. Mit null gemein, das ist AR (1). Wenn wir die Regression von z t2 auf z t1 und z t ausführen würden, würden wir erwarten, dass der Koeffizient auf z t nicht anders als null war, da diese partielle Autokorrelation Null sein sollte. Auf der anderen Seite sollten die Autokorrelationen für diese Serie exponentiell abnehmen, um die Verzögerungen zu erhöhen (siehe AR (1) Beispiel oben). Angenommen, die Serie ist wirklich ein gleitender Durchschnitt. Die Autokorrelation sollte überall null sein, aber bei der ersten Verzögerung. Die partielle Autokorrelation sollte exponentiell aussterben. Sogar von unserem sehr flüchtigen Rummel durch die Grundlagen der Zeitreihenanalyse ist es offensichtlich, dass es eine Dualität zwischen AR - und MA-Prozessen gibt. Diese Dualität kann in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden.